[알고리즘] Week 10: 고급 그래프 이론 - 트리 분해, 트리 DP, 라벨링 기법

Day 1: 트리 분해 (Tree Decomposition)

• 강의 내용:
  • 트리 분해의 개념
    • 트리 분해란 무엇인가?
    • 트리 분해의 목적 및 응용 사례
  • 트리 분해의 기본 용어
    • 트리 너비 (Treewidth)
    • 트리 분해의 정의
  • 트리 분해 알고리즘
    • 나이스 트리 분해 (Nice Tree Decomposition)
  • 시간 복잡도 분석
    • 트리 분해의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 간단한 예제 그래프에서 트리 분해 수행

# 트리 분해 예제
import networkx as nx

def tree_decomposition_example():
    G = nx.Graph()
    G.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 5)])
    T = nx.Graph()
    T.add_edges_from([('X1', 'X2'), ('X1', 'X3'), ('X2', 'X4')])
    T.nodes['X1']['bag'] = [1, 2, 3]
    T.nodes['X2']['bag'] = [2, 4, 5]
    T.nodes['X3']['bag'] = [1, 3]
    T.nodes['X4']['bag'] = [4, 5]
    return G, T

G, T = tree_decomposition_example()
print("그래프 G의 트리 분해 T:")
print("G의 노드:", G.nodes())
print("G의 간선:", G.edges())
print("T의 노드:", T.nodes(data=True))
print("T의 간선:", T.edges())

 

Day 2: 트리 DP (Tree Dynamic Programming)

• 강의 내용:
  • 트리 DP의 개념
    • 트리 DP란 무엇인가?
    • 트리 DP의 응용 사례
  • 트리 DP의 기본 원리
    • 재귀적 문제 해결 접근법
    • DP 테이블 및 메모이제이션
  • 트리 DP 알고리즘
    • 예제: 최대 독립 집합 (Maximum Independent Set)
  • 시간 복잡도 분석
    • 트리 DP의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 트리 DP 구현 및 예제

# 트리 DP 예제: 최대 독립 집합
class TreeNode:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.children = []

def maximum_independent_set(root):
    def dfs(node):
        if not node:
            return (0, 0)
        included = node.value
        excluded = 0
        for child in node.children:
            child_included, child_excluded = dfs(child)
            included += child_excluded
            excluded += max(child_included, child_excluded)
        return (included, excluded)

    included, excluded = dfs(root)
    return max(included, excluded)

# 예제 실행
root = TreeNode(10)
root.children.append(TreeNode(20))
root.children.append(TreeNode(30))
root.children[0].children.append(TreeNode(40))
root.children[0].children.append(TreeNode(50))
root.children[1].children.append(TreeNode(60))

print("최대 독립 집합의 크기:", maximum_independent_set(root))  # 120

 

Day 3: 라벨링 기법 (Tree Labeling Techniques)

• 강의 내용:
  • 라벨링 기법의 개념
    • 라벨링 기법이란 무엇인가?
    • 라벨링 기법의 응용 사례
  • 라벨링 기법의 기본 원리
    • 라벨링을 통한 트리 구조의 효율적 탐색
  • 라벨링 기법 알고리즘
    • 예제: LCA (Lowest Common Ancestor) 문제 해결
  • 시간 복잡도 분석
    • 라벨링 기법의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 라벨링 기법 구현 및 예제

# 라벨링 기법 예제: LCA 문제 해결
class LCATree:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.parent = [-1] * n
        self.depth = [0] * n
        self.log = [0] * (n + 1)
        self.up = [[-1] * n for _ in range(int(math.log2(n)) + 1)]

    def add_edge(self, u, v):
        self.parent[v] = u
        self.depth[v] = self.depth[u] + 1
        self.up[0][v] = u

    def preprocess(self):
        for i in range(1, int(math.log2(self.n)) + 1):
            for v in range(self.n):
                if self.up[i - 1][v] != -1:
                    self.up[i][v] = self.up[i - 1][self.up[i - 1][v]]

    def lca(self, u, v):
        if self.depth[u] < self.depth[v]:
            u, v = v, u
        diff = self.depth[u] - self.depth[v]
        for i in range(int(math.log2(self.n)) + 1):
            if diff & (1 << i):
                u = self.up[i][u]
        if u == v:
            return u
        for i in reversed(range(int(math.log2(self.n)) + 1)):
            if self.up[i][u] != self.up[i][v]:
                u = self.up[i][u]
                v = self.up[i][v]
        return self.parent[u]

# 예제 실행
n = 7
lca_tree = LCATree(n)
lca_tree.add_edge(0, 1)
lca_tree.add_edge(0, 2)
lca_tree.add_edge(1, 3)
lca_tree.add_edge(1, 4)
lca_tree.add_edge(2, 5)
lca_tree.add_edge(2, 6)
lca_tree.preprocess()
print("LCA of 3 and 4:", lca_tree.lca(3, 4))  # 1
print("LCA of 3 and 5:", lca_tree.lca(3, 5))  # 0
print("LCA of 4 and 6:", lca_tree.lca(4, 6))  # 0
print("LCA of 3 and 6:", lca_tree.lca(3, 6))  # 0

 

Day 4: 트리 분해와 트리 DP의 응용

• 강의 내용:
  • 트리 분해와 트리 DP의 실제 응용
    • 네트워크 분석
    • 분자 생물학
  • 트리 분해와 트리 DP의 성능 최적화
    • 최적화 기법 및 효율성 향상 방안
  • 고급 예제 문제 해결
    • 복잡한 그래프에서의 트리 분해 및 트리 DP 적용
• 실습:
  • 고급 문제 해결 및 성능 최적화

### 고급 예제 문제
주어진 네트워크 그래프에서 트리 분해를 수행하고, 트리 DP를 적용하여 네트워크의 최대 독립 집합을 찾으세요.

 

Day 5: 고급 그래프 이론 종합 연습

• 강의 내용:
  • 종합 연습 문제 풀이
    • 트리 분해, 트리 DP, 라벨링 기법 문제 해결
  • 고급 그래프 이론의 응용
    • 다양한 실생활 문제에서의 응용 사례
• 실습:
  • 종합 연습 문제 해결 및 결과 분석

### 종합 연습 문제 예시
1. 주어진 그래프에서 트리 분해를 수행하세요.
2. 주어진 트리에서 트리 DP를 사용하여 최대 독립 집합을 찾으세요.
3. 주어진 트리에서 라벨링 기법을 사용하여 LCA를 찾으세요.

 

Day 6: 프로젝트 준비

• 강의 내용:
  • 프로젝트 주제 선정 및 요구사항 분석
    • 프로젝트 주제 및 요구사항 확정
    • 프로젝트 설계 및 계획 수립
  • 프로젝트 구현 준비
    • 데이터 구조 및 알고리즘 설계
    • 프로젝트 팀 구성 및 역할 분담
• 실습:
  • 프로젝트 주제 및 요구사항 분석
  • 프로젝트 설계 및 계획 수립

### 프로젝트 주제 예시
1. 대규모 네트워크 분석 도구 개발
2. 실시간 그래프 최적화 시스템

### 프로젝트 요구사항 예시
1. 대규모 네트워크 분석 도구:
   - 대규모 네트워크 데이터셋 입력 및 저장
   - 고급 그래프 알고리즘을 통한 네트워크 분석
   - 분석 결과 출력 및 성능 분석

### 프로젝트 설계 및 계획 예시
1. 데이터 입력 모듈 구현
2. 고급 그래프 알고리즘 구현 (트리 분해, 트리 DP, 라벨링 기법 등)
3. 데이터 출력 및 성능 분석 모듈 구현

 

이 강의는 파이썬의 고급 그래프 이론, 특히 트리 분해, 트리 DP, 라벨링 기법의 기본 개념과 구현을 익히는 것을 목표로 하며, 각 강의는 이론과 실습을 포함합니다. 다음 주차에 대한 상세 강의를 원하시면 말씀해 주세요!