[알고리즘] Week 11: 최적화 알고리즘 - 선형 계획법과 제약 만족 문제

Day 1: 선형 계획법 (Linear Programming)

• 강의 내용:
  • 선형 계획법의 개념
    • 선형 계획법이란 무엇인가?
    • 선형 계획법의 응용 사례 (예: 자원 배분, 생산 계획)
  • 선형 계획법의 기본 요소
    • 목적 함수 (Objective Function)
    • 제약 조건 (Constraints)
    • 변수 (Variables)
  • 선형 계획법의 표준 형태
    • 표준 형태로의 변환
  • 시간 복잡도 분석
    • 선형 계획법의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 간단한 선형 계획법 예제

from scipy.optimize import linprog

# 선형 계획법 예제: 최대화 문제
# 목적 함수: maximize 3x + 4y
# 제약 조건: 2x + y <= 20, 4x - 5y >= -10, -x + 2y >= -2, -x + 5y = 15

c = [-3, -4]
A = [[2, 1], [-4, 5], [-1, 2]]
b = [20, -10, -2]
A_eq = [[-1, 5]]
b_eq = [15]

result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, method='highs')

if result.success:
    print("최적해:", result.x)
    print("최적값:", -result.fun)
else:
    print("최적해를 찾지 못했습니다.")

 

Day 2: 선형 계획법 심화

• 강의 내용:
  • 선형 계획법의 심화 개념
    • 대칭 단체법 (Simplex Method)
    • 내부 점 방법 (Interior Point Method)
  • 대칭 단체법의 동작 원리
    • 기본 개념 및 단계별 설명
  • 내부 점 방법의 동작 원리
    • 기본 개념 및 단계별 설명
  • 선형 계획법의 한계
    • 비선형 문제 및 제약 조건의 복잡성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 심화 선형 계획법 예제

# 대칭 단체법을 사용한 선형 계획법 예제
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, method='simplex')

if result.success:
    print("대칭 단체법 최적해:", result.x)
    print("대칭 단체법 최적값:", -result.fun)
else:
    print("대칭 단체법으로 최적해를 찾지 못했습니다.")

 

Day 3: 제약 만족 문제 (Constraint Satisfaction Problem, CSP)

• 강의 내용:
  • 제약 만족 문제의 개념
    • 제약 만족 문제란 무엇인가?
    • CSP의 응용 사례 (예: 스케줄링, 퍼즐 해결)
  • CSP의 기본 요소
    • 변수 (Variables)
    • 도메인 (Domains)
    • 제약 조건 (Constraints)
  • CSP 해결 알고리즘
    • 백트래킹 (Backtracking)
    • 제약 전파 (Constraint Propagation)
  • 시간 복잡도 분석
    • CSP의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 간단한 CSP 예제 (예: 퍼즐 해결)

# CSP 예제: 스도쿠 퍼즐 해결
def is_valid(board, row, col, num):
    for i in range(9):
        if board[row][i] == num or board[i][col] == num:
            return False
    start_row, start_col = 3 * (row // 3), 3 * (col // 3)
    for i in range(start_row, start_row + 3):
        for j in range(start_col, start_col + 3):
            if board[i][j] == num:
                return False
    return True

def solve_sudoku(board):
    for row in range(9):
        for col in range(9):
            if board[row][col] == 0:
                for num in range(1, 10):
                    if is_valid(board, row, col, num):
                        board[row][col] = num
                        if solve_sudoku(board):
                            return True
                        board[row][col] = 0
                return False
    return True

# 예제 실행
sudoku_board = [
    [5, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0],
    [6, 0, 0, 1, 9, 5, 0, 0, 0],
    [0, 9, 8, 0, 0, 0, 0, 6, 0],
    [8, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 3],
    [4, 0, 0, 8, 0, 3, 0, 0, 1],
    [7, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6],
    [0, 6, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 0],
    [0, 0, 0, 4, 1, 9, 0, 0, 5],
    [0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 7, 9]
]

if solve_sudoku(sudoku_board):
    for row in sudoku_board:
        print(row)
else:
    print("해결할 수 없는 스도쿠 퍼즐입니다.")

 

Day 4: CSP 심화

• 강의 내용:
  • CSP 심화 개념
    • 아크 일관성 (Arc Consistency)
    • 도메인 축소 (Domain Reduction)
  • 아크 일관성 알고리즘
    • AC-3 알고리즘의 동작 원리
  • 도메인 축소 기법
    • 도메인 축소를 통한 효율성 향상
  • CSP 해결 전략
    • 최선 선택 전략 (Heuristics)
    • 최소 남은 값 (MRV) 전략
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 심화 CSP 예제 (예: N-Queen 문제)

# AC-3 알고리즘 구현
def ac3(csp):
    queue = [(xi, xj) for xi in csp['variables'] for xj in csp['neighbors'][xi]]
    while queue:
        (xi, xj) = queue.pop(0)
        if revise(csp, xi, xj):
            if not csp['domains'][xi]:
                return False
            for xk in csp['neighbors'][xi]:
                if xk != xj:
                    queue.append((xk, xi))
    return True

def revise(csp, xi, xj):
    revised = False
    for x in csp['domains'][xi]:
        if all(not csp['constraints'](xi, x, xj, y) for y in csp['domains'][xj]):
            csp['domains'][xi].remove(x)
            revised = True
    return revised

# N-Queen 문제 예제 실행
def n_queens(n):
    def is_valid(board, row, col):
        for i in range(row):
            if board[i] == col or board[i] - i == col - row or board[i] + i == col + row:
                return False
        return True

    def solve(board, row):
        if row == n:
            return [board[:]]
        solutions = []
        for col in range(n):
            if is_valid(board, row, col):
                board[row] = col
                solutions.extend(solve(board, row + 1))
        return solutions

    board = [-1] * n
    return solve(board, 0)

# 예제 실행
solutions = n_queens(8)
print("8-Queen 문제의 해답 개수:", len(solutions))

 

Day 5: 최적화 알고리즘 종합 연습

• 강의 내용:
  • 종합 연습 문제 풀이
    • 선형 계획법과 CSP 문제 해결
  • 최적화 알고리즘의 응용
    • 다양한 실생활 문제에서의 응용 사례
• 실습:
  • 종합 연습 문제 해결 및 결과 분석

### 종합 연습 문제 예시
1. 주어진 최적화 문제를 선형 계획법을 사용하여 해결하세요.
2. 주어진 CSP 문제를 백트래킹과 제약 전파를 사용하여 해결하세요.

 

Day 6: 프로젝트 준비

• 강의 내용:
  • 프로젝트 주제 선정 및 요구사항 분석
    • 프로젝트 주제 및 요구사항 확정
    • 프로젝트 설계 및 계획 수립
  • 프로젝트 구현 준비
    • 데이터 구조 및 알고리즘 설계
    • 프로젝트 팀 구성 및 역할 분담
• 실습:
  • 프로젝트 주제 및 요구사항 분석
  • 프로젝트 설계 및 계획 수립

### 프로젝트 주제 예시
1. 대규모 최적화 문제 해결 시스템 개발
2. 실시간 제약 만족 문제 해결 시스템

### 프로젝트 요구사항 예시
1. 대규모 최적화 문제 해결 시스템:
   - 대규모 최적화 문제 데이터셋 입력 및 저장
   - 고급 최적화 알고리즘을 통한 문제 해결
   - 최적화 결과 출력 및 성능 분석

### 프로젝트 설계 및 계획 예시
1. 데이터 입력 모듈 구현
2. 고급 최적화 알고리즘 구현 (선형 계획법, CSP 등)
3. 데이터 출력 및 성능 분석 모듈 구현

 

이 강의는 파이썬의 고급 최적화 알고리즘, 특히 선형 계획법과 제약 만족 문제의 기본 개념과 구현을 익히는 것을 목표로 하며, 각 강의는 이론과 실습을 포함합니다. 다음 주차에 대한 상세 강의를 원하시면 말씀해 주세요!