[알고리즘] Week 9: 선형 계획법과 비선형 계획법

Day 1: 선형 계획법 (Linear Programming)

• 강의 내용:
  • 선형 계획법의 개념
    • 선형 계획법이란 무엇인가?
    • 선형 계획법의 특성과 응용 사례
  • 선형 계획법의 기본 원리
    • 목적 함수 (Objective Function)
    • 제약 조건 (Constraints)
    • 변수 (Variables)
  • 단체법 (Simplex Method)
    • 알고리즘의 원리와 단계별 설명
  • 시간 복잡도 분석
    • 단체법의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 단체법 구현 및 예제

from scipy.optimize import linprog

# 예제: 선형 계획법 - 단체법 사용
c = [-1, -2]  # 목적 함수 계수
A = [[2, 1], [1, 1], [1, 2]]  # 제약 조건 계수
b = [20, 16, 18]  # 제약 조건 한계

result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, method='simplex')
print("최적해:", result.x)
print("최적값:", result.fun)

 

Day 2: 선형 계획법 심화

• 강의 내용:
  • 선형 계획법의 응용
    • 자원 배분, 생산 계획, 네트워크 흐름 문제
  • 내부 점 방법 (Interior Point Method)
    • 알고리즘의 원리와 단계별 설명
  • 선형 계획법의 한계와 극복 방법
    • 복잡성 증가, 큰 문제에 대한 접근 방법
  • 시간 복잡도 분석
    • 내부 점 방법의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 내부 점 방법 구현 및 예제

# 예제: 선형 계획법 - 내부 점 방법 사용
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, method='interior-point')
print("최적해:", result.x)
print("최적값:", result.fun)

 

Day 3: 비선형 계획법 (Nonlinear Programming)

• 강의 내용:
  • 비선형 계획법의 개념
    • 비선형 계획법이란 무엇인가?
    • 비선형 계획법의 특성과 응용 사례
  • 비선형 계획법의 기본 원리
    • 목적 함수와 제약 조건의 비선형성
    • 최적화 기법: 구배 하강법 (Gradient Descent), 뉴턴법 (Newton's Method)
  • 시간 복잡도 분석
    • 비선형 계획법의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 구배 하강법 예제

import numpy as np

# 예제: 구배 하강법을 이용한 비선형 계획법
def gradient_descent(f, grad_f, x0, learning_rate, max_iter):
    x = x0
    for _ in range(max_iter):
        x = x - learning_rate * grad_f(x)
    return x

# 목적 함수와 그라디언트 정의
f = lambda x: x[0]**2 + x[1]**2
grad_f = lambda x: np.array([2*x[0], 2*x[1]])

# 초기값 설정
x0 = np.array([1.0, 1.0])
learning_rate = 0.1
max_iter = 100

optimal_x = gradient_descent(f, grad_f, x0, learning_rate, max_iter)
print("최적해:", optimal_x)
print("최적값:", f(optimal_x))

 

Day 4: 비선형 계획법 심화

• 강의 내용:
  • 고급 비선형 최적화 기법
    • 제약 조건 최적화: 라그랑지 승수법 (Lagrange Multipliers)
    • 진화 알고리즘 (Genetic Algorithms)
  • 비선형 계획법의 응용
    • 머신러닝, 로봇 공학, 금융 모델링
  • 시간 복잡도 분석
    • 고급 비선형 최적화 기법의 복잡도 및 효율성
• 실습:
  • 파이썬을 사용한 라그랑지 승수법 예제

from scipy.optimize import minimize

# 예제: 라그랑지 승수법을 이용한 비선형 계획법
def objective(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

def constraint1(x):
    return x[0] + x[1] - 1

# 초기값과 제약 조건 설정
x0 = [0.5, 0.5]
cons = ({'type': 'eq', 'fun': constraint1})

result = minimize(objective, x0, constraints=cons)
print("최적해:", result.x)
print("최적값:", result.fun)

 

Day 5: 고급 최적화 기법 종합 연습

• 강의 내용:
  • 종합 연습 문제 풀이
    • 선형 계획법 및 비선형 계획법 문제 해결
  • 고급 최적화 기법의 응용
    • 다양한 실생활 문제에서의 응용 사례
• 실습:
  • 종합 연습 문제 해결 및 결과 분석

### 종합 연습 문제 예시
1. 주어진 자원 배분 문제를 선형 계획법을 사용하여 해결하세요.
2. 주어진 비선형 목적 함수를 구배 하강법을 사용하여 최적화하세요.
3. 라그랑지 승수법을 사용하여 제약 조건이 있는 비선형 최적화 문제를 해결하세요.

 

Day 6: 프로젝트 준비

• 강의 내용:
  • 프로젝트 주제 선정 및 요구사항 분석
    • 프로젝트 주제 및 요구사항 확정
    • 프로젝트 설계 및 계획 수립
  • 프로젝트 구현 준비
    • 데이터 구조 및 알고리즘 설계
    • 프로젝트 팀 구성 및 역할 분담
• 실습:
  • 프로젝트 주제 및 요구사항 분석
  • 프로젝트 설계 및 계획 수립

### 프로젝트 주제 예시
1. 대규모 자원 배분 최적화 시스템 개발
2. 실시간 금융 모델링 및 최적화 시스템

### 프로젝트 요구사항 예시
1. 대규모 자원 배분 최적화 시스템:
   - 자원 데이터셋 입력 및 저장
   - 선형 및 비선형 계획법을 통한 최적화
   - 최적화 결과 출력 및 성능 분석

2. 실시간 금융 모델링 및 최적화 시스템:
   - 금융 데이터 입력 및 저장
   - 고급 최적화 기법을 통한 모델링 및 최적화
   - 모델링 및 최적화 결과 출력 및 성능 분석

### 프로젝트 설계 및 계획 예시
1. 데이터 입력 모듈 구현
2. 최적화 알고리즘 구현 (선형 계획법, 비선형 계획법 등)
3. 데이터 출력 및 성능 분석 모듈 구현

 

이 강의는 파이썬의 고급 최적화 기법, 특히 선형 계획법과 비선형 계획법의 기본 개념과 구현을 익히는 것을 목표로 하며, 각 강의는 이론과 실습을 포함합니다. 다음 주차에 대한 상세 강의를 원하시면 말씀해 주세요!